Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+bx在[1，2]上為減函數(shù)，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用y=f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，建立不等式，將a+b用條件線性表示，即可求得a+b的最小值．

解答 解：f′（x）=x²+ax+b，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)即在區(qū)間[1，2]上，f′（x）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b≤0}\\{4+2a+b≤0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b≤-1}\\{2a+b≤-4}\end{array}\right.$
在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線 a+b+1=0、2a+b+4=0，它們交于 A（-3，2），
滿足①（a，b）是 A 點(diǎn)上方區(qū)域，
令a+b=t，則 b=-a+t，t是直線在b軸上的截距，
平移直線，可以看出，當(dāng)直線過A時(shí)，
t最小為-3+2=-1．
故a+b的最小值是-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的問題，以及區(qū)域線性規(guī)劃，屬于中檔題．