Question

【題目】如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的兩條直線分別與拋物線交于點(diǎn)，與，（點(diǎn)，在軸的上方）.

①若，求直線的斜率；

②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)可確定p,即可寫出方程（2）①設(shè)，，利用向量關(guān)系得，代入拋物線方程，可得,，結(jié)合F(1,0)即可求出斜率. ②根據(jù)可得 ，當(dāng)存在時，設(shè)直線：，聯(lián)立拋物線方程，得，根據(jù)可得，代入直線方程即可求出定點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)不存在時，檢驗(yàn)過定點(diǎn)即可.

（1）因?yàn)?/span>，所以p=2,

所以方程為

（2）法一：，，

得

代入得，則，,

法二:由 ①

得，代入①求，

而，得

法三:利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，得

（3），得

，同理 ①

代入①得

,又有

而

當(dāng)存在時，設(shè)直線：

得：

得

過定點(diǎn)

當(dāng)不存在時，檢驗(yàn)得過定點(diǎn)。

綜上所述，直線過定點(diǎn)。