Question

（2009•大連一模）若定義域為[2a-1，a²+1]的函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函數(shù)，則點（a，b）的軌跡是（　�。�

A．一個點

B．兩個點

C．線段

D．直線

Answer 1

分析：函數(shù)是偶函數(shù)，則其定義域關(guān)于原點對稱，由此求出a的值，把a代入函數(shù)解析式后，再利用偶函數(shù)的定義求出b的值，則點（a，b）的軌跡可求．

解答：解：由定義域為[2a-1，a²+1]的函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函數(shù)，
則2a-1+a²+1=0，即a²+2a=0，解得：a=0或a=-2．
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a-b=bx-b．
由f（-x）=f（x）得：-bx-b=bx-b，所以b=0；
當(dāng)a=-2時，函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a-b=-2x²+bx-b-4．
由f（-x）=f（x）得：-2（-x）²-bx-b-4=-2x²+bx-b-4．所以b=0．
所以滿足定義域為[2a-1，a²+1]的函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a-b是偶函數(shù)的點（a，b）的軌跡是點（0，0），（-2，0）
故選B．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸軸對稱，訓(xùn)練了利用方程恒成立求參數(shù)的值，是基礎(chǔ)題．