Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=

25

4

，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）試討論直線l與圓C的位置關(guān)系，并敘述理由；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）首先求出直線恒過的定點(diǎn)P（3，1），然后利用點(diǎn)與點(diǎn)的距離與半徑比較來判定直線l與圓C的位置關(guān)系：相交
（2）直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程：過P（3，1）垂直于經(jīng)過圓心的直線．然后利用直線垂直的充要條件求得直線的斜率，進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式求得直線方程．

解答： 解：（1）圓C：（x-1）²+（y-2）²=

25

4

則：圓心C（1，2）R=

5

2

直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
2mx+x+my+y-7m-4=0（m∈R）

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得：

x=3 y=1

即直線l恒過定點(diǎn)P（3，1）
則：CP=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜

5

2

（2）由（1）得直線L恒過定點(diǎn)P（3，1），直線被圓C截得的弦長最小的直線是：過P（3，1）垂直于經(jīng)過圓心的直線．
則k1=

2-1

1-3

=-

1

2

由于：直線與直線的垂直
∴k₁•k₂=-1
解得：k₂=2
∴直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程：y-1=2（x-3）
即：2x-y-5=0
故答案為：（1）相交
（2）2x-y-5=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，恒過定點(diǎn)的直線方程，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，直線垂直的充要條件，恒過圓內(nèi)一定點(diǎn)且被圓所截的最短弦的直線方程，直線點(diǎn)斜式的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．