Question

設(shè)f（x）=

(x-a)2，   x≤0 x+ 1 x +a， x＞0

，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由分段函數(shù)可得當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，則有a²≤x+

1

x

+a，x＞0恒成立，運(yùn)用基本不等式，即可得到右邊的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：由于f（x）=

(x-a)2，   x≤0 x+ 1 x +a， x＞0

，
則當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，
則有a²≤x+

1

x

+a，x＞0恒成立，
由x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取最小值2，
則a²≤2+a，解得-1≤a≤2．
綜上，a的取值范圍為[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，同時(shí)考查基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題，也是易錯(cuò)題．