Question

12．設(shè){a_n}是等比數(shù)列，已知a₁=1，且4a₂.2a₃，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=1，且4a₂，2a₃，a₄成等差數(shù)列．
∴2×2a₃=4a₂+a₄．
∴4a₂q=4a₂+${a}_{2}{q}^{2}$，化為q²-4q+4=0，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1，
2T_n=n×2+（n-1）×2²+…+2×2^n-1+2ⁿ，
∴-T_n=n-2-2²-…-2^n-1-2ⁿ=n+1-$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2ⁿ=n+2-2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．