Question

2．當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時(shí)，求函數(shù)y=1-sinx+2sin²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由題意可得t=sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，換元可得y=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時(shí)，t=sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
換元可得y=1-sinx+2sin²x=1-t+2t²=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$或t=1時(shí)，函數(shù)取最大值2；
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并利用二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．