Question

19．如圖，在四面體P-ABCD中，△ABD是邊長為2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一點(diǎn)，且BE∥平面PCD．若PC=2，求點(diǎn)E到平面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O，利用線線垂直得到線面垂直，即可證明PA⊥BD；
（2）當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時，BE∥平面PCD，并證明，并得到點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于$\frac{1}{2}$PC，問題得以解決．

解答 解：（1）證明：連接AC交BD于O，
∵PC⊥BP，BP∩CP=P，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BP，BP∩CP=P，
∴AB⊥平面PBC，
∴AB⊥BC，
∵BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠BAC=30°，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面ACP，
∵AP?平面APC，
∴PA⊥BD，
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接BF，EF，
當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時，BE∥平面PCD，證明如下，
∵AB=BD，
∴BF⊥AD，
有（1）的BC=CD，則CD⊥AD，
∴EF∥CD，
∵E為PA的中點(diǎn)，
∴EF∥PD，
∴平面BEF∥平面PCD，
∵BE?平面BEF，
∴BE∥平面PCD，
∵PC⊥底面ABCD，
∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于$\frac{1}{2}$PC=1

點(diǎn)評 本題考查直線 與平面垂直的判定，直線與直線平行，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．