Question

4．若不等式$\frac{1}{x-1}$≥a-x在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 由題意可得a≤x+$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，令f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，運用基本不等式可得f（x）的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：不等式$\frac{1}{x-1}$≥a-x在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即為
a≤x+$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
令f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，由x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，
當且僅當x-1=1即x=2時，f（x）取得最小值3．
則a≤3．
故選：D．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想，考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．