設(shè)關(guān)于x的不等式|x-2|<a(a∈R)的解集為A,且
3
2
∈A,-
1
2
∉A
(1)?x∈R,|x-1|+|x-3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值
(2)若a+b=1,求
1
3|b|
+
|b|
a
的最小值,并指出取得最小值時(shí)a的值.
考點(diǎn):絕對(duì)值不等式的解法,基本不等式
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合
分析:(1)由
3
2
∈A,-
1
2
∉A可得
1
2
<a≤
5
2
,再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|x-1|+|x-3|的最小值為2,結(jié)合恒成立思想,可得a2+a≤2,解出不等式,求交集,再由a∈N,即可得到a;
(2)由條件可得
1
3|b|
+
|b|
a
=
a+b
3|b|
+
|b|
a
,對(duì)b討論,分b>0,b<0,運(yùn)用基本不等式求出最小值,比較即可得到所求最小值,同時(shí)求出取等號(hào)的a的值.
解答: 解:(1)關(guān)于x的不等式|x-2|<a(a∈R)的解集為A,且
3
2
∈A,-
1
2
∉A,
則a>|
3
2
-2|且a≤|-
1
2
-2|,即有
1
2
<a≤
5
2
,①
?x∈R,|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,即有
|x-1|+|x-3|的最小值為2,
?x∈R,|x-1|+|x-3|≥a2+a恒成立,即有
a2+a≤2,解得-2≤a≤1,②
由①②可得
1
2
<a≤1,
由a∈N,則a=1;
(2)若a+b=1,則
1
3|b|
+
|b|
a
=
a+b
3|b|
+
|b|
a
,
當(dāng)b>0時(shí),
1
3|b|
+
|b|
a
=
1
3
+(
a
3b
+
b
a
)≥
1
3
+2
a
3b
b
a
=
1+2
3
3
,
當(dāng)且僅當(dāng)
a
3b
=
b
a
,即a=
3-
3
2
∈(
1
2
,
5
2
],b=
3
-1
2
時(shí),取得最小值,且為
1+2
3
3
;
當(dāng)b<0時(shí),
1
3|b|
+
|b|
a
=-
1
3
+(
a
3b
+
b
a
)≥-
1
3
+2
a
3b
b
a
=
2
3
-1
3

當(dāng)且僅當(dāng)
a
3b
=
b
a
,即a=
3+
3
2
∈(
1
2
,
5
2
],b=
-1-
3
2
時(shí),取得最小值,且為
2
3
-1
3

綜上可得,當(dāng)a=
3+
3
2
時(shí),
1
3|b|
+
|b|
a
取得最小值,且為
2
3
-1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查基本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為10,漸近線方程為y=2x,則C的方程為(  )
A、
x2
20
-
y2
5
=1
B、
x2
5
-
y2
20
=1
C、
x2
80
-
y2
20
=1
D、
x2
20
-
y2
80
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)lnx,a>1.
( I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
( II)若a=2,數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
①若首項(xiàng)a1=10,證明數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;
②若首項(xiàng)為正整數(shù),數(shù)列{an}遞增,求首項(xiàng)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求:
(1)a1+a3的值;
(2)數(shù)列{an}前8項(xiàng)的和S8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
1
3
(an-1),(n∈N*).
(1)求a1,a2的值;       
(2)求證{an}數(shù)列是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
(2)x∈[2,4],求f(x)的解析式;
(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+(2014)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=2esinx在點(diǎn)x=0處的瞬時(shí)變化率為( 。
A、2B、-2C、2eD、-2e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

f(x)是定義在D上的函數(shù),若存在區(qū)間,使函數(shù)f(x)在[m,n]上的值域恰為[km,kn],則稱函數(shù)f(x)是k型函數(shù).若函數(shù)y=-
1
2
x2+x[m,n]⊆D是3型函數(shù),則m+n的值為( 。
A、0B、8C、-4D、-4或8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線l1:ax+y-1=0,l2:(3a-4)x-y-2=0,且l1∥l2
(1)求a的值
(2)求以N(1,1)為圓心,并且與l2相切的圓的方程.

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