Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁和a₄的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=|11-$\frac{1}{2}$a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將a₂=2+a₁、a₄=6+a₁代入${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₄、計(jì)算可知a₁=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=|11-n|，通過(guò)去絕對(duì)值符號(hào)可知當(dāng)n≤11時(shí)b_n=11-n，當(dāng)n≥12時(shí)b_n=n-11，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差d=2的等差數(shù)列，
∴a₂=2+a₁，a₄=6+a₁，
又∵a₂是a₁和a₄的等比中項(xiàng)，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₄，即（2+a₁）²=a₁（6+a₁），
整理得：2a₁=4，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）可知b_n=|11-$\frac{1}{2}$a_n|=|11-n|，
∴當(dāng)n≤11時(shí)，b_n=11-n，
∴T_n=$\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}$=$\frac{n（11-1+11-n）}{2}$=$\frac{n（21-n）}{2}$；
當(dāng)n≥12時(shí)，b_n=n-11，
∴T_n=T₁₁+b₁₂+b₁₃+…+b_n
=$\frac{n（1-11+n-11）}{2}$+2T₁₁
=$\frac{n（n-21）}{2}$+2•$\frac{11（21-11）}{2}$
=$\frac{n（n-21）}{2}$+110；
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（21-n）}{2}，}&{n≤11}\\{\frac{n（n-21）}{2}+110，}&{n≥12}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．