Question

已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，若b_n=

2

n(an+2)

，則數(shù)列{b_n}的前n項和的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、（0，1）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設等差數(shù)列{a_n}是公差為d且d不為0，由題意和等比中項的性質列出方程求出d的值，代入等差數(shù)列的通項公式求出a_n，再代入b_n=

2

n(an+2)

化簡后進行裂項，由裂項相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和，化簡后由式子個特點和n的取值范圍求出它的范圍．

解答： 解：設等差數(shù)列{a_n}是公差為d，且d不為0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
則b_n=

2

n(an+2)

=

2

n(2n+2)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1，
又n≥1，所以S_n≥

1

2

，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和S_n的取值范圍是[

1

2

，1），
故選：A．

點評：本題考查了等比中項的性質，等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和方法：裂項相消法的應用，以及數(shù)列的函數(shù)特性．