Question

（08年威海市模擬文）（12分）如圖，在正三棱柱ABC―A₁B₁C­_1­­中，M、N、P、Q分別是AA₁、CC₁、AC、B₁C₁的中點.

   （1）求證：MN⊥平面PBB₁；

   （2）求證：平面AB₁C∥平面MNQ；

   （3）若AA₁=2AB=2，求三棱錐Q―MNP的體積.

 

Answer 1

解析：（1）∵ABC―A₁B₁C₁是正棱柱，

    ∴BB₁⊥AC，BP⊥AC. ∴AC⊥平面PBB₁.

    又∵M、N分別是AA₁、CC₁的中點，

    ∴MN∥AC. ∴MN⊥平面PBB₁.…………4分

   （2）∵MN∥AC，∴AC∥平面MNQ.

    QN是△B₁CC₁的中位線，∴B₁C∥QN.

    ∴B₁C∥平面MNQ.

    ∴平面AB₁C∥平面MNQ.………………8分

   （3）由題意，△MNP的面積

    Q點到平面ACC₁A₁的距離H顯然等于△A₁B₁C₁的高的一半，也就是等于BP的一半，

     ∴三棱錐Q―MNP的體積………………12WV