Question

4．在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是線段CD上一點，滿足|$\overrightarrow{CE}$|=2||$\overrightarrow{DE}$|，如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{BE}$；
（2）在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE？若存在，確定F點的位置，并求|$\overrightarrow{AF}$|；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加、減法運算法則計算即可；
（2）設(shè)$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow$，則$\overrightarrow{FC}=（1-t）\overrightarrow$，（0≤t≤1），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$，利用$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$、$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$及$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=0，計算即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，
$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$；
（2）結(jié)論：在線段BC上存在使得$4|\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BC}|$的一點F滿足AF⊥BE，此時|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．
理由如下：
設(shè)$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow$，則$\overrightarrow{FC}=（1-t）\overrightarrow$，（0≤t≤1），
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$，
∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°，
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°$=$\frac{1}{2}$，
∵AF⊥BE，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$）•（$\overrightarrow-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$）
=$（1-\frac{2}{3}t）$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$t{\overrightarrow}^{2}$
=$（1-\frac{2}{3}t）$×$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$+t
=0，
解得t=$\frac{1}{4}$，從而$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow$，
∴$|\overrightarrow{AF}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{AF}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{16}{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

點評 本題考查向量的加、減法運算法則，數(shù)量積運算，將線段垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．