Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)h（x）的圖象，再將函數(shù)h（x）的圖象向右平移

π

3

個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，再利用公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最小值．利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
（Ⅱ）求出函數(shù)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得函數(shù)的解析式，再把所得函數(shù)的圖象向右平移

π

3

個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，寫出解析式，然后求解定義域是的函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）y=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=1+2sin（2x+

π

6

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)h（x）=1+2sin（x+

π

6

）的圖象，再將函數(shù)h（x）的圖象向右平移

π

3

個單位后得到函數(shù)g（x）=1+2sin（x-

π

3

+

π

6

）=1+2sin（x-

π

6

）的圖象，
∴函數(shù)g（x）的解析式，g（x）=1+2sin（x-

π

6

）．
∵x∈[0，π]，x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，當(dāng)x-

π

6

=-

π

6

時(shí)函數(shù)取得最小值：1+2×(-

1

2

)=0，
當(dāng)x-

π

6

=

π

2

時(shí)函數(shù)取得最大值：1+2=3，
∴g（x）∈[0，3]，
即函數(shù)g（x）在[0，π]上的值域[0，3]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握y=Asin（ωx+φ）的圖象變換中振幅變換、平移變換及周期變換的法則及方法是解答本題的關(guān)鍵．注意基本函數(shù)的基本性質(zhì)，是解好題目的前提．