Question

已知圓P：x²+y²=4y及拋物線S：x²=8y，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自左向右順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線l的斜率為（　　）

• A、±

  2

  2

• B、

  2

  2

• C、±

  2

• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與直徑長，設(shè)出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直線l的斜率的值．

解答： 解：圓P的方程為x²+（y-2）²=4，則其直徑長|BC|=4，
圓心為P（0，2），
∵AB，BC，CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
∴|AB|+|CD|=2|BC|=8，
即|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|=12，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x²=8y得：x²-8kx-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有

△=64k2+64＞0 x1+x2=8k x1x2=-16

，
∴|AD|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

(1+k2)(64k2+64)

=8（k²+1），
∴8（k²+1）=12，
即k²=

1

2

，
解得k=±

2

2

，
∴直線l的斜率為±

2

2

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓、拋物線的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定|AD|是關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．