Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個零點.

（i）求的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；

（2）（i）由（1）知，且在處取得極大值，當時，， 當時，，所以只需，構(gòu)造函數(shù)解不等式即可；（ii）構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合的單調(diào)性證明即可.

（1），

①當時，，；

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當時，，∴在上單調(diào)遞增；

③當時，，或，

，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

④當時，，或，

，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），

（i）若，則恒成立，在上遞增，所以至多一個零點，與已知不符合，故

當時，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得極大值，為

當時，， 當時，

∵有兩個零點，所以只需極大值，即

設(shè)，

則，所以在上單調(diào)遞減

又，所以使得的.

（ii）結(jié)合（i）的分析，不妨設(shè)，

設(shè)，，

所以

當時，，∴在上單調(diào)遞增.

∵，且，∴

又，∴，

由，可知與均屬于，

又在上單調(diào)遞減，

∴由，即.