Question

7．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}3x+y-3≤0\\ 2x-3y+6≥0\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$，若z=2x+3y的最大值為m，最小值為n，則m${\;}^{\frac{1}{n}}$=$3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值和最小值，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x+y-3≤0\\ 2x-3y+6≥0\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖中△ABC（包括邊界），由圖可知，
由z=2x+3y，得y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，
平移直線y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值．
由$\left\{\begin{array}{l}2x-3y+6=0\\ 2x-y-2=0\end{array}\right.$，解得A（3，4）．
所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為z=2×3+3×4=18．即m=18．
當(dāng)直線y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-3=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（1，0）．
所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為z=2×1+3×0=2．即n=2．
所以m${\;}^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件求出最大值和最小值是解決本題的關(guān)鍵．