Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx-n．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n+1的一個(gè)解為1，且該方程還在（0，1）上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，再分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x），轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）在（0，1）上有零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和導(dǎo)數(shù)和與函數(shù)的關(guān)系，即可求出m的范圍．

解答 解：（1）依題意，f′（x）=e^x-m，
①當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）=e^x-m＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，從而f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1，
①當(dāng)m＞0時(shí)，f′（x）=e^x-m＞0，即x＞lnm，
∴f（x）在（-∞，lnm）上單調(diào)遞減，在（lnm，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)lnm≤0，即0＜m≤1，f（x）在（0，lnm）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（0）=1-n，
當(dāng)0＜lnm＜1，即1＜m＜e時(shí)，
∴f（x）在（-∞，lnm）上單調(diào)遞減，在（lnm，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（lnm）=m-mlnm-n，
當(dāng)lnm≥1，即m≥e時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=e-m-n
綜上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-n，（m≤1）}\\{m-mlnm-n，（1＜m＜e）}\\{e-m-n，（m≥e）}\end{array}\right.$
（2）g（x）=-f（x）+$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n+1=n-e^x+mx+$\frac{1}{2}$mx²+（n-m）x-n-1=-e^x+$\frac{1}{2}$mx²+nx+1，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，
且g′（x）=n+mx-e^x=-f（x），g（0）=g（1）=0，
令x₀為g（x）在（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由g（0）=g（x₀）=0知，g（x）在（0，x₀）內(nèi)不單調(diào)遞增，也不單調(diào)遞減，也不單調(diào)遞增，
從而-f（x）在（0，x₀）內(nèi)不能恒為正，也不能恒為負(fù)．
∴-f（x）在（0，x₀）內(nèi)存在零點(diǎn)x₁，
同理-f（x）在（x₀，1）存在零點(diǎn)x₂，
∴-f（x）在（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
由（1）知，當(dāng)m≤1時(shí)，-f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴-f（x）在（0，1）內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)1＜m＜e時(shí)，-f（x）在（0，lnm）上單調(diào)遞增，在（lnm，1）上單調(diào)遞減，
∴x₁∈（0，lnm），x₂∈（lnm，1），
從而-f（0）=n-1＜0，-f（1）=m+n-e＜0，否則，矛盾，
∴-f（0）=n-1=e-2-$\frac{m}{2}$＜0，即m＞2（e-2）；
-f（1）=m+n-e=$\frac{m}{2}$-1＜0，即m＜2，
∴2（e-2）＜m＜2，
當(dāng)2（e-2）＜m＜2時(shí)，-f（x）在（0，1）的最大值為[-f（x）]_max=n+mlnm-m，
若[-f（x）]_max=n+mlnm-m≤0，則-f（x）≤0，x∈[0，1]，
從而g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，這與g（0）=g（1）=0相矛盾，
∴[-f（x）]_max=n+mlm-m＞0，
又f（0）＜0，-f（1）＜0，
∴-f（x）在（0，lnm），（lnm，1）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
∴g（x）在（0，x₁）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₂，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g（x₁）＜g（0）=0，g（x₂）＞g（1）=0，
∴g（x）在（x₁，x₂）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴m的取值范圍是（2（e-2），2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的東西，著重考查學(xué)生的推理能力，屬于難題．