Question

10．已知命題p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦點在x軸上的雙曲線，命題q：關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實根，
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-1＜0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則命題p，q一真一假，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦點在x軸上的雙曲線，
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-1＜0\end{array}\right.$，
 即-1＜m＜1，…（4分）
∴若命題p為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（-1，1）…（5分）
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q為一個真命題，一個假命題，…（7分）
若關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實根，
則判別式△=4m²-4（2m+3）＜0，…（8分）
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．…（9分）
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\ m≤-1，或m≥3\end{array}\right.$，此時無解，…（10分）
柔p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜3\\ m≤-1，或m≥1\end{array}\right.$，得1≤m＜3，…（11分）
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[1，3）…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了雙曲線的標準方程，方程根的存在性及個數(shù)判斷，難度中檔．