Question

8．如圖，圓錐的底面直徑AB=2，母線長VA=3，點C在母線長VB上，且VC=1，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A到點C，則這只螞蟻爬行的最短距離是（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．

解答 解：由題意知，底面圓的直徑為2，故底面周長等于2π，
設圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為α，
根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2π=3α，
解得：α=$\frac{2π}{3}$，
∴∠AOA′=$\frac{2π}{3}$，
則∠1=$\frac{π}{3}$，
過C作CF⊥OA，
∵C為OB的三等分點，BO=3，
∴OC=1，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$，
∴CF²=CO²-OF²=$\frac{3}{4}$，
∵AO=3，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC²=AF²+FC²=7，
則AC=$\sqrt{7}$．
故選：B．

點評 考查了平面展開-最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．