Question

17．如圖所示，直線AB為圓O的切線，切點為B，點C在圓O上，∠ABC的平分線BE交圓O于點E，DB垂直BE交圓O于點D．
（1）證明：DB=DC；
（2）設(shè)圓O的半徑為1，BC=$\sqrt{3}$，延長CE交AB于點F，求線段BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接DE交BC于點G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分線可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE為⊙O的直徑，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性質(zhì)即可得到DC=DB．
（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分線，即可得到BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．設(shè)DE的中點為O，連接BO，可得∠BOG=60°．從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．進而得到線段BF的長

解答 （1）證明：連接DE交BC于點G，
由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．（1分）
∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．（3分）
又∵DE⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=90°．（4分）
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（5分）
（2）解：設(shè)DE與BC相交于點G，
由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂線．（6分）
∵$BC=\sqrt{3}$，∴$BG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（7分）
連接BO，∵圓O的半徑為1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
∴CF⊥BF．（9分），∴$BF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（10分）

點評 本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等等知識，需要較強的推理能力、分析問題和解決問題的能力．