【題目】已知函數(shù)fx=-x2+ef′(x

(Ⅰ)求fx)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若存在x1,x2x1x2),使得fx1+fx2=1,求證:x1+x22

【答案】(Ⅰ)在R上單調(diào)遞增;(Ⅱ)見解析

【解析】

(I)f′(x)=e2(x-1)-2x+ef′().令x=,則f′()=-1+ef′(),解得f′(),進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

(II)由(I)可得:函數(shù)f(x))=-x2+x在R上單調(diào)遞增.要證明:x1+x2<2x1<2-x2f(x1)<f(2-x2),又f(x1)+f(x2)=1,因此f(x1)<f(2-x2)1-f(x2)<f(2-x2),即f(x2)+f(2-x2)-1>0,f(1)=-1+1=,則x1<1<x2.令g(x)=f(2-x)+f(x)-1=+-2x2+4x-2,x>1,g(1)=0.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論.

If′(x=e2x-1-2x+ef′().

x=,則f′(=-1+ef′(),解得f′(=

f′(x=e2x-1-2x+1fx=2e2x-1-2=2ex-1+1)(ex-1-1),

單調(diào)遞增;單調(diào)遞減,

x=1時,函數(shù)f′(x)取得極小值即最小值,∴f′(x)≥f′(1=0

∴函數(shù)fx)在R上單調(diào)遞增.

II)由(I)可得:函數(shù)fx=-x2+xR上單調(diào)遞增.

要證明:x1+x22x12-x2fx1)<f2-x2),

fx1+fx2=1,因此fx1)<f2-x21-fx2)<f2-x2),

fx2+f2-x2-10,f1==,則x11x2

gx=f2-x+fx-1=-2-x2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2,x1,g1=0g′(x=-e21-x+e2x-1-4x+4,

gx=2e21-x+2e2x-1-4≥0,∴g′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

g′(x)>g′(1=0,∴函數(shù)gx)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

gx)>g1=0,因此結(jié)論x1+x22成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,的中點(diǎn),于點(diǎn),的重心.

(1)求證:平面;

(2)若,點(diǎn)在線段上,且,求二面角的余弦值.

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品,在推廣期邀請了100位客戶試用該產(chǎn)品,每人一臺.試用一個月之后進(jìn)行回訪,由客戶先對產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價,再讓客戶決定是否購買該試用產(chǎn)品(不購買則可以免費(fèi)退貨,購買則僅需付成本價).經(jīng)統(tǒng)計(jì),決定退貨的客戶人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半,“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人,“對性能不滿意”的客戶中恰有選擇了退貨.

(1)請完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”.

對性能滿意

對性能不滿意

合計(jì)

購買產(chǎn)品

不購買產(chǎn)品

合計(jì)

(2)企業(yè)為了改進(jìn)產(chǎn)品性能,現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進(jìn)行分層抽樣,隨機(jī)抽取6位客戶進(jìn)行座談.座談后安排了抽獎環(huán)節(jié),共有4張獎券,獎券上分別印有200元、400元、600元和800元字樣,抽到獎券可獲得相應(yīng)獎金.6位客戶有放回的進(jìn)行抽取,每人隨機(jī)抽取一張獎券,求6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率.

附:,其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】8名運(yùn)動員中選4人參加4×100米接力賽,在下列條件下,各有多少種不同的排法?(用數(shù)字結(jié)尾)
1)甲、乙兩人必須跑中間兩棒;
2)若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒;
3)若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒.

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【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,軸,直線軸于點(diǎn),為橢圓上的動點(diǎn),的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于且使軸,如圖,問四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,軸,直線軸于點(diǎn),,為橢圓上的動點(diǎn),的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于且使軸,如圖,問四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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1)求的值;

2)當(dāng)時, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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每個糖人的價格(元)

9

10

11

12

13

賣出糖人的個數(shù)(個)

54

50

46

43

39

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求關(guān)于的回歸直線方程;

(2)若該種造型的糖人的成本為2元/個,為使糖人師傅每天獲得最大利潤,則該種糖人應(yīng)定價多少元?(精確到1元)

參考公式:回歸直線方程,其中.

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2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明直線過定點(diǎn),并求面積的最大值.

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