Question

8．若關(guān)于x的不等式|3x+2|+|3x-1|-t≥0的解集為R，記實(shí)數(shù)t的最大值為a．
（1）求a；
（2）若正實(shí)數(shù)m，n滿足4m+5n=a，求$y=\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為|3x+2|+|3x-1|≥t，求出|3x+2|+|3x-1|的最小值，從而求出t的范圍即可；
（2）根據(jù)柯西不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閨3x+2|+|3x-1|-t≥0，所以|3x+2|+|3x-1|≥t，
又因?yàn)閨3x+2|+|3x-1|≥|（3x+2）+（1-3x）|=3，所以t≤3，
從而實(shí)數(shù)t的最大值a=3．
（2）因?yàn)?（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）（4m+5n）$
=$（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）[（m+2n）+（3m+3n）]$
$≥{（\sqrt{\frac{1}{m+2n}}•\sqrt{m+2n}+\sqrt{\frac{4}{3m+3n}}•\sqrt{3m+3n}）^2}=9$，
所以$3（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）≥9$，從而y≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{m+2n}=\frac{2}{3m+3n}$，即$m=n=\frac{1}{3}$時(shí)取等號，
所以$y=\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}$的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值的意義，考查柯西不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．