Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果?x∈R，使得f（x）＜2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|x-1|+|x+1|≥3，討論當(dāng)x≤-1時，當(dāng)-1＜x＜1時，當(dāng)x≥1時，去掉絕對值解不等式，最后求并集；
（2）由題意可得2＞f（x）_min，運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值，再由絕對值不等式的解法，可得a的范圍．

解答 解：（1）若a=-1，f（x）≥3，
即為|x-1|+|x+1|≥3，
當(dāng)x≤-1時，1-x-x-1≥3，即有x≤-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-1＜x＜1時，1-x+x+1=2≥3不成立；
當(dāng)x≥1時，x-1+x+1=2x≥3，解得x≥$\frac{3}{2}$．
綜上可得，f（x）≥3的解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（2）?x∈R，使得f（x）＜2成立，
即有2＞f（x）_min，
由函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|，
當(dāng)（x-1）（x-a）≤0時，取得最小值|a-1|，
則|a-1|＜2，
即-2＜a-1＜2，
解得-1＜a＜3．
則實數(shù)a的取值范圍為（-1，3）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查存在性問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為最值問題，運用絕對值不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．