Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0
（2）若當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0，即⇒（x-1）（x-a）＞0．分a＜1，a=1，a＞1討論
（2）要使當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）＞0恒成立，由（2）得，只需（2，3）是不等式f（x）＞0的解集的子集即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0，即x²-（a+1）x+a＞0，
⇒（x-1）（x-a）＞0
∴a＜1時 解集為{x|x＜a或x＞1}；
a=1時  解集為{x|x≠1}；
a＞1時  解集為{x|x＜1或x＞a}．
（2）要使當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）＞0恒成立，由（2）得，
①a＜1時，只需（2，3）⊆{x|x＜a或x＞1}，則a＜1符號題意，
②a=1時，符號題意
③a＞1時，只需（2，3）⊆{{x|x＜1或x＞a}．則1＜a≤2
綜上a的取值范圍為（-∞，2]

點評 本題考查了不等式的解法、不等式恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．