Question

已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是x軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(

1

2

，-

2

)．
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）直線l過定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，把A點(diǎn)坐標(biāo)(

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2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為y=kx+2k+1，由方程組

y=kx+(2k+1) y2=4x

，得ky²-4y+4（2k+1）=0，由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)-1＜k＜

1

2

，且k≠0時(shí)，以上方程組有兩個(gè)解，這時(shí)直線l拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
把A點(diǎn)坐標(biāo)(

1

2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，
解得p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=4x
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為y=kx+2k+1
由方程組

y=kx+(2k+1) y2=4x

，
得ky²-4y+4（2k+1）=0，
顯然k=0不滿足題意，∴k≠0
于是由△=-16（2k²+k-1）＞0，
即2k²+k-1＜0，
解得　-1＜k＜

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2

于是，當(dāng)-1＜k＜

1

2

，
且k≠0時(shí)，以上方程組有兩個(gè)解，這時(shí)直線l拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．
故當(dāng)k≠0時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．