Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，，記數(shù)列{a_n²}前n項(xiàng)的和為S_n，若對(duì)任意的n∈N^* 恒成立，則正整數(shù)t的最小值為（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

Answer 1

【答案】分析：由題干中的等式變形得出數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，得出a_n²的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，得出數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)，再由，求出正整數(shù)得m的最小值．
解答：解：∵，∴，
∴（n∈N^*），
∴{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴=1+4（n-1）=4n-3，∴a_n²=
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=
=＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為
S₃-S₁=a₂²+a₃²==，
∵≤，∴m≥
又∵m是正整數(shù)，
∴m的最小值為10．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的結(jié)合問題，難度之一為結(jié)合已知和要求的式子，觀察出數(shù)列是等差或等比數(shù)列；難度之二求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，證明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解題的關(guān)鍵．