【題目】已知直線的方程為，點是拋物線上到直線距離最小的點，點是拋物線上異于點的點，直線與直線交于點，過點與軸平行的直線與拋物線交于點.

（Ⅰ）求點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）證明直線恒過定點，并求這個定點的坐標(biāo).

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點，可根據(jù)點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據(jù)點到直線的距離

得當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，（Ⅱ）解析幾何中定點問題的解決方法，為以算代證，即先求出直線AB方程，根據(jù)恒等關(guān)系求定點.先設(shè)點 ，求出直線AP方程，與直線方程聯(lián)立，解出點縱坐標(biāo)為.即得點的坐標(biāo)為，再根據(jù)兩點式求出直線AB方程，最后根據(jù)方程對應(yīng)恒成立得定點

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，

所以，點到直線的距離

.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時點坐標(biāo)為.………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，顯然.

當(dāng)時，點坐標(biāo)為，直線的方程為；

當(dāng)時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯(lián)立，可得點的縱坐標(biāo)為.

因為，軸，所以點的縱坐標(biāo)為.

因此，點的坐標(biāo)為.

當(dāng)，即時，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得.

當(dāng)，時，上式對任意恒成立，

此時，直線恒過定點，

當(dāng)時，直線的方程為，仍過定點，

故符合題意的直線恒過定點.……………………………………13分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（3）設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù),其中

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在極值點，且，其中，求證: ；

（Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證： 在區(qū)間上最大值不小于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，求直線被曲線截得的弦長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上有最大值1和最小值0，設(shè).

(1)求的值；

(2)若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

(3)若方程 (為自然對數(shù)的底數(shù))有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，摩天輪的半徑為米，點距地面高度為米，摩天輪做勻速運動，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，以點為原點，過點且平行與地平線的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的起始位置在最低點（且在最低點開始時），設(shè)在時刻（分鐘）時點距地面的高度（米），則與的函數(shù)關(guān)系式

__________．在摩天輪旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，點到地面的距離不小于米的時間長度為 __________（分鐘）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，小明同學(xué)從中任取3道題解答．

（Ⅰ）求小明同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．若小明同學(xué)答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立．求小明同學(xué)至少答對2道題的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班名男同學(xué)， 名女同學(xué)中隨機抽取一個容量為的樣本進(jìn)行分析.

（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出計算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）隨機抽取位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是： ，物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是： .

①若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，求這位同學(xué)中恰有位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；

②若這位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實上對應(yīng)如下表：

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，由變量與的相關(guān)系數(shù)可知物理成績與數(shù)學(xué)成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)求與的線性回歸方程（系數(shù)精確到）.

參考公式：回歸直線的方程是： ，其中對應(yīng)的回歸估計值，

參考數(shù)據(jù)： ， ， ，， ，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，討論當(dāng)時的零點的個數(shù).

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