Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點M（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設點N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k₁，k₂，問：k₁+k₂是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點M（1，0），列出方程組，能求出橢圓C的方程．
（2）設過M的直線：y=k（x-1）=kx-k或者x=1，x=1時，代入橢圓，能求出k₁+k₂=2；把y=kx-k代入橢圓，得（3k²+1）x²-6k²x+（3k²-3）=0，由此利用韋達定理能求出k₁+k₂=2．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點M（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{{y}^{2}}_{\;}$=1．
（2）k₁+k₂是定值．
證明如下：設過M的直線：y=k（x-1）=kx-k或者x=1
①x=1時，代入橢圓，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴令A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
k₁=$\frac{2-\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}$，k₂=$\frac{2+\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}$，∴k₁+k₂=2．
②y=kx-k代入橢圓，（3k²+1）x²-6k²x+（3k²-3）=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=$\frac{6{k}^{3}}{3{k}^{3}+1}$-2k=$\frac{-2k}{3{k}^{3}+1}$，
y₁y₂=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-$\frac{2{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，
k₁=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$，k₂=$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
∴k₁+k₂=$\frac{6-3{y}_{1}-2{x}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+6-3{y}_{2}-2{x}_{1}+{x}_{1}{x}_{2}}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=2．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線斜率之和是否為定值的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．