Question

1．圖為一塊平行四邊形園地ABCD，經(jīng)測量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，擬過線段AB上一點E設計一條直路EF（點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），將該園地分為面積之比為3：1的左、右兩部分分別種植不同的花卉，設EB=x，EF=y（單位：米）
（1）當點F與點C重合時，試確定點E的位置；
（2）求y關于x的函數(shù)關系式，并確定點E、F的位置，使直路EF長度最短．

Answer 1

分析 （1）當點F與點C重合時，S_△BEC=$\frac{1}{4}$S_?ABCD，即$\frac{1}{2}$•EB•h=$\frac{1}{4}$AB•h，從而確定點E的位置；
（2）點E在線段AB上，分10≤x≤20與0≤x＜10討論以確定y關于x的函數(shù)關系式，從而利用分段函數(shù)解得，當0≤x＜10時，y=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，由二次函數(shù)求最小值，當10≤x≤20時，y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$，由基本不等式求最值；從而可得．

解答 解：（1）當點F與點C重合時，S_△BEC=$\frac{1}{4}$S_?ABCD，即$\frac{1}{2}$•EB•h=$\frac{1}{4}$AB•h，
其中h為平行四邊形AB邊上的高，得EB=$\frac{1}{2}$AB，即點E是AB的中點．
（2）∵點E在線段AB上，
∴0≤x≤20，
當10≤x≤20時，由（1）知，點F在線段BC上，
∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，
∴S_?ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=100$\sqrt{3}$．
由S_△EBF=$\frac{1}{2}$x•BF•sin120°=25$\sqrt{3}$，得BF=$\frac{100}{x}$，
∴由余弦定理得，
y=EF=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{100}{x}）^{2}-2x•\frac{100}{x}•cos120°}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$，
當0≤x＜10時，點F在線段CD上，
由S_{四邊形EBCF}=$\frac{1}{2}$（x+CF）×10×sin60°=25$\sqrt{3}$得CF=10-x，
當BE≥CF時，EF=$\sqrt{1{0}^{2}+（2x-10）^{2}-2×10×（2x-10）cos120°}$，
當BE＜CF時，EF=$\sqrt{1{0}^{2}+（10-2x）^{2}-2×10×（10-2x）cos60°}$，
化簡均為y=EF=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{{x}^{2}-5x+25}，0≤x＜10}\\{\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}，10≤x≤20}\end{array}\right.$；
當0≤x＜10時，y=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，當x=$\frac{5}{2}$時，y有最小值y_min=5$\sqrt{3}$，此時CF=$\frac{15}{2}$；
當10≤x≤20時，y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$≥10$\sqrt{3}$＞5$\sqrt{3}$，
故當點E距點B2.5m，點F距點C7.5m時，EF最短，其長度為5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用及基本不等式與二次函數(shù)的性質應用，屬于中檔題．