Question

2．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（$\frac{a}{2}$，0）到直線l的距離d≥$\frac{1}{5}$c，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{3}{2}$，2]
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 求出直線l的方程，和點(diǎn)（$\frac{a}{2}$，0）到直線l的距離，列出不等式得出a，b，c的關(guān)系，消去b，得出e的范圍．

解答 解：直線l的方程為bx+ay-ab=0．
∴點(diǎn)（$\frac{a}{2}$，0）到直線l的距離d=$\frac{\frac{1}{2}ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{2c}$≥$\frac{1}{5}c$．
∴5ab≥2c²，即25a²（c²-a²）≥4c⁴，
∴4c⁴+25a⁴-25a²c²≤0，
∵e=$\frac{c}{a}$，
∴4e⁴-25e²+25≤0，解得$\frac{5}{4}≤{e}^{2}≤5$．
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}≤e≤\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，不等式的解法，屬于中檔題．