Question

11．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|-|1+x|．
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）若關于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，即可解不等式f（x）≥4；
（2）關于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，即a²+2a＜|2x-1|-|2x+2|，而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，故有a²+2a＜3，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|-|1+x|，故f（x）≥4，即|1-2x|-|1+x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ 1-2x+x+1≥4\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤\frac{1}{2}\\ 1-2x-x-1≥4\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{2}\\ 2x-1-x-1≥4\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥6}．
（2）關于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，即a²+2a＜|2x-1|-|2x+2|，
而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，故有a²+2a＜3，求得-3＜a＜1．
即實數(shù)a的取值范圍為{a|-3＜a＜1}．

點評 本題考查學生對絕對值不等式的理解與運用，考查學生對絕對值函數(shù)的運算求解能力，考查分類與整合、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合等思想．