【題目】如圖1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,CE=4.如圖2所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連接AB,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
(1)求證:DE⊥平面BCD;
(2)若EF∥平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn),求三棱錐B﹣DEG的體積.
【答案】
(1)解:取AC的中點(diǎn)P,連接DP,因?yàn)樵赗t△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,
所以∠A=30°,△ADC是等腰三角形,所以DP⊥AC,DP= ,∠DCP=30°,∠PDC=60°,
又點(diǎn)E在線段AC上,CE=4.所以AE=2,EP=1,所以∠EDP=30°,
∴∠EDC=90°,∴ED⊥DC;
∵將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD
(2)解:若EF∥平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn),G為EC的中點(diǎn),此時(shí)AE=EG=GC=2,
因?yàn)樵赗t△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,
所以BD= ,DC= ,
所以B到DC的距離h= = = ,
因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,平面BDC∩平面EDC=DC,
所以B到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高.
三棱錐B﹣DEG的體積:V= = = =
【解析】(1)取AC的中點(diǎn)P,連接DP,證明DP⊥AC,∠EDC=90°,ED⊥DC;利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面BCD;(2)說明G為EC的中點(diǎn),求出B到DC的距離h,說明到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高.利用 , 即可求三棱錐B﹣DEG的體積.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M為PC中點(diǎn).求證:
(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+a2﹣1.
(1)若對(duì)任意的x∈R均有f(1﹣x)=f(1+x),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),求f(x)的最小值,用g(a)表示其最小值,判斷g(a)的奇偶性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x+2,那么不等式2f(x)﹣1<0的解集是( )
A.
B. 或
C.
D. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB的端點(diǎn)B在圓C1:x2+(y﹣4)2=16上運(yùn)動(dòng),端點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),線段AB中點(diǎn)為M, (Ⅰ)試求M點(diǎn)的軌C2方程;
(Ⅱ)若圓C1與曲線C2交于C,D兩點(diǎn),試求線段CD的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0. (Ⅰ)說明C是哪種曲線?并將C的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|= ,求l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x>0)滿足:f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x<1時(shí)f(x)>0,且f( )=1;
(1)證明:y=f(x)是(x>0)上的減函數(shù);
(2)解不等式f(x﹣3)>f( )﹣2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=4,點(diǎn)E、F分別為AB和PD的中點(diǎn).
(1)求證:直線AF∥平面PEC;
(2)求平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且2f′(x)>1,當(dāng)x∈[﹣ , ]時(shí),不等式f(2cosx)> ﹣2sin2 的解集為( )
A.( , )
B.(﹣ , )
C.(0, )
D.(﹣ , )
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