【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=4,點E、F分別為AB和PD的中點.
(1)求證:直線AF∥平面PEC;
(2)求平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值.
【答案】
(1)證明:取PC中點Q,連接EQ,F(xiàn)Q,
∵點E、F分別為AB和PD的中點,底面ABCD為菱形,
∴FQ =AE,∴FQ AE,
∴四邊形AEQF是平行四邊形,
∴AF∥EQ,
∵AF平面PEC,EQ平面PEC,
∴由線面平行的判定定理得直線AF∥平面PEC
(2)解:以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,0,4),E(2 ,0,0),C(0,4,0),
=(2 ,0,﹣4), =(﹣2 ,4,0),
設(shè)平面PEC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=2,得 =(2, , ),
∴面PEC的法向量
同理得面PAD的法向量 ,
設(shè)所求二面角為α,則 ,
∴ .
故平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值為 .
【解析】(1)取PC中點Q,連接EQ,F(xiàn)Q,推導(dǎo)出四邊形AEQF是平行四邊形,從而AF∥EQ,由此能證明直線AF∥平面PEC.(2)以D為原點,DE為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)=2x+x﹣m(m為常數(shù)).
(1)求常數(shù)m的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)若對于任意x∈[﹣3,﹣2],都有f(k4x)+f(1﹣2x+1)>0成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,點E在線段AC上,CE=4.如圖2所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連接AB,設(shè)點F是AB的中點.
(1)求證:DE⊥平面BCD;
(2)若EF∥平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點,求三棱錐B﹣DEG的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點E在CC1上且C1E=3EC
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 為空間中兩條不同的直線, 為空間中兩個不同的平面,下列命題正確的是( )
A.若 則
B.若 ,則
C.若 在 內(nèi)的射影互相平行,則
D.若 ,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在空間中,給出下面四個命題,則其中正確命題的個數(shù)為( )
①過平面 外的兩點,有且只有一個 平面與平面 垂直;
②若平面 內(nèi)有不共線三點到平面 的距離都相等,則 ∥ ;
③若直線 與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則 ;
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩平行線;
A.3
B.2
C.1
D.0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2﹣ax﹣a)ex .
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若a∈(0,2),對于任意x1 , x2∈[﹣4,0],都有 恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2(a2﹣b2)=2accosB+bc. (Ⅰ)求A;
(Ⅱ)D為邊BC上一點,BD=3DC,∠DAB= ,求tanC.
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