Question

9．如圖所示，已知四棱錐的側(cè)棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，點M是側(cè)棱PC的中點．
（1）求證：BC⊥平面BDP；
（2）若tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，求三棱錐M-BDP的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2$\sqrt{2}$，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2$\sqrt{2}$，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PD⊥BC．利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）如圖，過M作MG⊥DC交DC于點G．由PD⊥DC，M是PC中點，知MG是△DCP的中位線，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，得PD=2，MG=$\frac{1}{2}$PD=1．利用V_M-BDP=V_P-BCD-V_M-BCD，即可得出．

解答 （1）證明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，
∴BD=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，
又AD=2，CD=4，AB=2，
則BC=2$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=16=DC²，∴BD⊥BC．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．
（2）解：如圖，過M作MG⊥DC交DC于點G．
由PD⊥DC，M是PC中點，知MG是△DCP的中位線，
∴MG∥PD，MG=$\frac{1}{2}$PD，
又PD⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面BDC．
又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$，得PD=2，MG=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_M-BDP=V_P-BCD-V_M-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×2-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×1=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．