Question

16．若關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{x}$-a=0（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 利用已知條件轉(zhuǎn)化方程為lnx=ax，令y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象有交點(diǎn)即可得出a的范圍．

解答 解：由$\frac{lnx}{x}$-a=0，得lnx=ax，
∴y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，
作出y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然當(dāng)a≤0時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象總有交點(diǎn)，符合題意；
設(shè)直線y=kx與y=lnx相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∴當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象有交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象沒有交點(diǎn)，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，開心數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．