Question

11．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)；（Ⅱ）為了進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生的護(hù)眼習(xí)慣，學(xué)習(xí)小組成員進(jìn)行分層抽樣，在視力4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生中抽取9人，并且在這9人中任取3人，記視力在4.2～4.4的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)各組的頻率為f₁=0.03，f₂=0.07，f₃=0.27，f₄=0.26，f₅=0.23，由此求出視力在5.0以上的頻率，從而能估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)．
（II）依題意9人中視力在4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
f₁=0.03，f₂=0.07，f₃=0.27，f₄=0.26，f₅=0.23，
∴視力在5.0以上的頻率為1-（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，
估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)約為1000×0.14=140人．   …（4分）
（II）依題意9人中視力在4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$．…（10分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．