【題目】如圖，在三棱柱中， 是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面⊥平面， .

（1）求證： ⊥平面ABC；

（2）求二面角的余弦值；

（3）證明：在線段存在點(diǎn)，使得，并求的值.

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由題意，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明，因?yàn)槠矫?/span>垂直于平面，且交線為，又，從而問(wèn)題可得證；在（2）、（3）由題意，可采用坐標(biāo)法，再通過(guò)向量的共線、垂直關(guān)系，以及數(shù)量積等的運(yùn)算，從而問(wèn)題可得解.

試題解析：(1)證明　在正方形中， .

又平面平面，且平面平面，

∴平面.

(2)解:由(1)知， ，由題意知，

在中， ，

∴，

∴.

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.

，

于是 ，，，，

設(shè)平面法向量為，

令

與平面所成角正弦值為.

(3)假設(shè)存在點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，使，且.

,解得，，

又，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得，

因?yàn)?/span>，所以在線段上存在點(diǎn)D，使得.此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓滿足：①圓心在第一象限，截軸所得弦長(zhǎng)為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為；③圓心到直線的距離為.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別做圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為， ，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．

（i）求證：點(diǎn)在定直線上；

（ii）直線與軸交于點(diǎn)，記△的面積為，△的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，,

，側(cè)棱底面.

（I）證明：平面平面；

（II）若直線與平面所成的角的余弦值為，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若滿足：對(duì)任意的，都有恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若圖，在正方體中， 分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）在棱上是存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在銳角三角形ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，且

（1）求角C的大��；

（2）若 ，且三角形ABC的面積為，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案