Question

11．如圖，在四棱錐A-BCED中，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M為棱EA的中點，CE=2BD．
（Ⅰ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點N，連接MN，BN證明MNBD為平行四邊形，得到DM∥BN，然后證明DM∥面ABC．
（Ⅱ）證明BN丄AC，BD丄AC，推出AC丄面BDMN，然后證明面ECA丄面BDM．

解答 證明：（Ⅰ）取AC中點N，連接MN，BN，
由于M、N分別是AE、AC的中點，∴MN$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}$EC，又BD$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}$EC，
∴MN$\underline{\underline{∥}}$BD，從而MNBD為平行四邊形，
∴DM∥BN，又DM?面ABC，BN⊆面ABC；
所以DM∥面ABC；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及△ABC為等邊三角形，∴BN丄AC，
又BD丄面ABC∴BD丄AC，BN∩BD=B，
從而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN，
而AC在平面AEC內(nèi)，∴面EAC⊥上面BDMN，即面ECA丄面BDM．…（12分）

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的證明，直線與平面平行的判定定理的證明．