Question

6．在復平面內(nèi)，△AOB中，O是原點，點A，B對應的復數(shù)分別為z₁，z₂，且z₁，z₂滿足以下條件：
（1）|z₁-3|=1，
（2）z₂=（-1+i）z₁；求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件判斷復數(shù)z₁的軌跡；（2）利用復數(shù)的乘法的幾何意義，求出∠AOB，表示出三角形的面積，然后求解最值即可．

解答 解：在復平面內(nèi)，△AOB中，O是原點，點A，B對應的復數(shù)分別為z₁，z₂，且z₁，z₂滿足以下條件：
（1）|z₁-3|=1，可得復數(shù)z₁是復平面，以（3，0）為圓心，以1為半徑的圓．|z₁|的最小值為：2，最大值為：4．
（2）z₂=（-1+i）z₁=$\sqrt{2}$（cos$\frac{3π}{4}$+isin$\frac{3π}{4}$）z₁，可知$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$與$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$的夾角為：$\frac{3π}{4}$，即：∠AOB=$\frac{3π}{4}$．
△AOB面積為：$\frac{1}{2}$|z₁||z₂|sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|z₁|²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$|z₁|²∈[2，8]
可得△AOB面積的最大值和最小值分別為：8，2．

點評 本題考查復數(shù)的幾何意義，軌跡方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．