Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d同時(shí)滿足以下條件：
①f（x） 在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②f′（x）是偶函數(shù)；
③f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求函數(shù)f（x） 的解析式；
（2）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函數(shù)的奇偶性和切線方程能夠求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x²+1，由此入手，結(jié)合題設(shè)條件，能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（1）=3a+2b+c=0，（*）
由f′（x）是偶函數(shù)得b=0，（�。�
又f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，
∴f′（0）=c=-1，（ⅱ）
將（�。�（ⅱ）代入（*）得a=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3．
（2）由已知得，若存在x∈[1，e]，使4ln x-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞（4ln x-x²+1）_min．
設(shè)M（x）=4ln x-x²+1，x∈[1，e]，
則M′（x）=x4-2x=x4-2x2，
令M′（x）=0，又因?yàn)閤∈[1，e]，所以x=$\sqrt{2}$．
當(dāng)$\sqrt{2}$＜x≤e時(shí)，M′（x）＜0，則M（x）在（$\sqrt{2}$，e]上為減函數(shù)；
當(dāng)1≤x≤$\sqrt{2}$時(shí)，M′（x）＞0，則M（x）在[1，$\sqrt{2}$]上為增函數(shù)，
所以M（x）在[1，e]上有最大值．
又M（1）=0，M（e）=5-e²＜0，
所以M（x）的最小值為5-e²．
所以m＞5-e²．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（5-e²，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求法和求實(shí)數(shù)的取值范圍，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．