Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n，…（n∈N^*）．若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=

 

．（用n表示）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合確定零點(diǎn)的取值關(guān)系，利用數(shù)列求和的公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f(x)=1-|x-2|=

x-1(1≤x＜2) 3-x(2≤x＜3)

，
可畫出f（x）在[1，3）上的圖象，根據(jù)②f（3x）=3f（x），只要將f（x）在[1，3）上的圖象沿x軸伸長(zhǎng)到原來的3倍，
再沿y軸伸長(zhǎng)到原來的3倍即可得到f（x）在[3，9）上的圖象，
以此類推，可得到在[9，27），[27，81）…上的圖象，
關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)，可看成函數(shù)y=f（x）與y=a圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱性可知：

x1+x2

2

=6，

x3+x4

2

=6×3，

x5+x6

2

=6×32，…如圖，
所以就有

1

2

(x1+x2+…+x2n-1+x2n)=6+6×3+6×32+…+6×3n-1=

6(1-3n)

1-3

=3(3n-1)，
因此x1+x2+…+x2n-1+x2n=6(3n-1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象與性質(zhì)及等比數(shù)列求和．綜合性較強(qiáng)難度較大，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．