Question

14．設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)任意x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，求使不等式f（x）+f（x-3）≤2成立的取值范圍．

Answer 1

分析 利用賦值法先求出f（4）=2，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
則不等式f（x）+f（x-3）≤2等價(jià)為f[x（x-3）]≤f（4）．
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{{x}^{2}-3x-4≤0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$解得3＜x≤4，
故不等式f（x）+f（x-3）≤2成立的取值范圍是（3，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法以及函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．