Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-x）+cosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象過點（α，

4 2

5

），其中-

3π

4

＜α＜

π

4

，求f（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）運用誘導公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的周期和對稱軸方程即可得到；
（Ⅱ）運用角的變換α=[α+

π

4

）-

π

4

，運用同角的平方關系和兩角差的正弦公式，計算即可得到所求值．

解答： 解：由f（x）=sin（π-x）+cosx得
f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）由f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
令x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
所以函數(shù)的最小正周期為2π，對稱軸為直線x=kπ+

π

4

，k∈Z；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象過點（α，

4 2

5

），
有

2

sin（α+

π

4

）=

4 2

5

，
即sin（α+

π

4

）=

4

5

，
由于-

3π

4

＜α＜

π

4

，則-

π

2

＜α+

π

4

＜

π

2

，
所以cos（α+

π

4

）=

1- 16 25

=

3

5

，
則有f（α-

π

4

）=

2

sinα=

2

sin[（α+

π

4

）-

π

4

]
=

2

（

2

2

sin（α+

π

4

）-

2

2

cos（α+

π

4

）]
=

4

5

-

3

5

=

1

5

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查角的變換，考查誘導公式和兩角和差的正弦和余弦公式的運用，考查正弦函數(shù)的周期和對稱軸問題，屬于中檔題．