Question

6．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c．已知3cos²A+3cosBcosC=3sinBsinC-sin²A．
（1）求 A；
（2）若b=5，S_△ABC=5$\sqrt{3}$，求a和sin B的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式整理后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把b，sinA，以及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值，進而利用正弦定理求出sinB的值即可．

解答 解：（1）∵3cos²A+3cosBcosC=3sinBsinC-sin²A，
∴3cos²A+sin²A=3sinBsinC-3cosBcosC，即2cos²A+1=-3cos（B+C）=3cosA，
整理得：2cos²A-3cosA+1=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$（cosA=1舍去），
則A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=5，S_△ABC=5$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=5$\sqrt{3}$，即$\frac{5}{2}$c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
解得：c=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，即a=$\sqrt{21}$，
則由正弦定理得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．