Question

（2012•南京一模）在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且an+1•an=n2+3n+2，n∈N*．
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求p的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：

n

i=1

2

a 2 i

＞

n-1

n+1

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對(duì)n∈N*恒成立，即

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，求出首項(xiàng)和公差，再由a₁=p＞0，求得p的值．
（2）由條件可得

an+2

an

=

n+3

n+1

，①當(dāng)n為奇數(shù)，求得a_n=

n+1

2

p，即當(dāng)n=1時(shí)也符合．②當(dāng)n為偶數(shù)，由題意可得 a_n=

n+1

3

a₂ ，因?yàn)閍₁?a₂=6，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
再用裂項(xiàng)法和放縮法證明兩種情況下S_n的值都大于

n-1

n+1

．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．由題意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對(duì)n∈N*恒成立．
即d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2． 所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，即

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

．
因?yàn)閍₁=p＞0，故p的值為2． …（3分）
（2）因?yàn)閍_n+1?a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），所以a_n+2?a_n+1=（n+2）（n+3）． 所以

an+2

an

=

n+3

n+1

．  …（5分）
①當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時(shí)，

a3

a1

=

4

2

，

a5

a3

=

6

4

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

． 相乘得

an

a1

=

n+1

2

，所以a_n=

n+1

2

p．當(dāng)n=1時(shí)也符合．
②當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥4時(shí)，

a4

a2

=

5

3

，

a6

a4

=

7

5

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．  相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以a_n=

n+1

3

a₂．
因?yàn)閍₁?a₂=6，所以a₂=

6

p

．  所以a_n=

2(n+1)

p

，當(dāng)n=2時(shí)也符合． 所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

n+1 2 p，(n為奇數(shù)) 2(n+1) p ，(n為偶數(shù)

．  …（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=p+

6

p

+2p+

10

p

+…+

n

2

p+

2(n+1)

p

=p?

n 2 (1+ n 2 )

2

+

2

p

•

n 2 (3+n+1)

2

=

n(n+2)

8

p+

n(n+4)

2p

．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=p+

6

p

+2p+

10

p

+3p+

14

p

+…+

2n

p

+

n+1

2

p=p?

n+1 2 (1+ n+1 2 )

2

+

2

p

?

n+1 2 (3+n)

2

=

(n+1)(n+3)

8

p+

(n-1)(n+3)

2p

．
所以S_n=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，(n為奇數(shù)) n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，(n為偶數(shù))

．  …（10分）
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

n

i=1

2

a12

=

2

a 2 1

+

2

a 2 2

+

2

a 2 3

+…+

2

a 2 n-1

+

2

a 2 n

≥4（

1

a1a2

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

）=4[

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

]
＞2[

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

+

1

(n+1)×(n+2)

]
=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

．…（13分）
當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥2時(shí)，

n

i=1

2

a12

=

2

a 2 1

+

2

a 2 2

+

2

a 2 3

+…+

2

a 2 n-1

+

2

a 2 n

≥4（

1

a1a2

+

1

a3a4

+…+

1

an-2an-1

）+

2

a 2 n

＞4（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

(n-1)×n

）
＞2（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

+

1

n×(n+1)

）=

n-1

n+1

．…（15分）
又因?yàn)閷?duì)任意n∈N^*，都有

n-1

n+1

＜

n

n+2

，
故當(dāng)n≥2時(shí)，

n

i=1

2

a12

＞

n-1

n+1

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與不等式綜合，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，用放縮法證明不等式，屬于難題．