Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），y=g（x）的反函數(shù)y=g^-1（x），則g（3）•g^-1（1）的值為（　�。�

A．-3

B．-1

C．1

D．3

Answer 1

分析：f（x）為分段函數(shù)，要求g（3）•g^-1（1）可以先求g（3），代入g（x）=（x-2）²f（x-1），根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求得，再求g^-1（1）相當(dāng)于求方程（x-2）²f（x-1）=1，求出x的值；

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），
∴g（3）=（3-2）²f（2）=f（2）=1；
要求g^-1（1），y=g（x）的反函數(shù)y=g^-1（x），
∴可得方程（x-2）²f（x-1）=1，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x-1）=f（0）=0，顯然不可能；（x-2）²≥0，∴f（x-1）≠-1，即x≥0
若（x-2）²=1，可得x=3或x=1（舍去），
當(dāng)x=3時(shí)，（3-2）²f（2）=1，滿足，∴g^-1（1）=3，
∴g（3）•g^-1（1）=3，
故選D；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的值的求法以及反函數(shù)的定義，難度中等，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，是一道好題；