Question

12．已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F₂在坐標軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點（4，-$\sqrt{10}$），點M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：點M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據雙曲線的離心率，得到雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為x²-y²=λ，點代入求出參數λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$的解析式，把點M（3，m）代入雙曲線，可得出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$=0，即可證明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

解答 解：（1）∵雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$a，
則c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，則a=b，
即雙曲線是等軸雙曲線，
∴設所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點（4，-$\sqrt{10}$）在雙曲線上
知λ=4²-（-$\sqrt{10}$）²=6
∴雙曲線方程為x²-y²=6
（Ⅱ）若點M（3，m）在雙曲線上
則3²-m²=6∴m²=3
由雙曲線x²-y²=6知F₁（2$\sqrt{3}$，0），F₂（-2$\sqrt{3}$，0）
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=（2\sqrt{3}-3，-m）•（-2\sqrt{3}-3，-m）={m}^{2}-{（2\sqrt{3}）}^{2}+9=0$
∴$\overrightarrow{M{F_1}}⊥\overrightarrow{M{F_2}}$，
故點M在以F₁F₂為直徑的圓上．
（Ⅲ）△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×2|CM|=|CM|=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6．

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．根據條件確定雙曲線是等軸雙曲線以及利用待定系數法是解決本題的關鍵．．