Question

4．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個11階楊輝三角：
（1）求第20行中從左到右的第4個數；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個數的比為$\frac{2}{3}$，求n的值；
（3）求n階（包括0階）楊輝三角的所有數的和．

Answer 1

分析 （1）根據數陣中數的排列規(guī)律，可得第n行的從左到右第m+1個數為C_n^m，由此即可算出第20行中從左到右的第4個數的大��；
（2）由（1）的結論，建立關于n的方程并化簡整理，解之可得n=34；
（3）n階（包括0階）楊輝三角的所有數的和即是1+2+2²+…+2ⁿ，根據等比數列的前n項和公式計算即可．

解答 解：（1）由題意，得第n行的從左到右第m+1個數為C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n）
∴第20行中從左到右的第4個數為C₂₀³=1140；
（2）由題意，得
∵第n行中從左到右第14與第15個數的比為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{C}_{n}^{13}}{{C}_{n}^{14}}$=$\frac{2}{3}$，可化簡$\frac{14}{n-13}$=$\frac{2}{3}$，解得n=34，
（3）1+2+2²+…+2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1．

點評 本題給出三角形數陣，求它的指定項和在m斜列中包含的等式．著重考查了組合數的性質、運用組合數解決實際應用問題，屬于中檔題．